Template:Chú thích trong bài
Trong toán học, ánh xạ là khái quát của khái niệm hàm số. hàm số lại xuất phát từ khái niệm tương quan giữa những đại lượng vật lý. Chẳng hạn trong một chuyển động đều, độ dài quãng đường đi được bằng tích của tốc độ với thời kì. Nếu tốc độ là 5cm/s thì quãng đường đi được trong t giây là s = 5t.

Về ý nghĩa, ánh xạ trình diễn một tương quan (quan hệ) giữa những phần tử của hai tập hợp X và Y thoả mãn điều kiện: mỗi phần tử x của tập X đều với một và chỉ một phần tử

tương ứng với nó. Quan hệ thoả mãn tính chất này cũng được gọi là quan hệ hàm, vì thế khái niệm ánh xạ và hàm là tương đương nhau. Khái niệm hàm nói trên là khái niệm hàm đơn trị, nó cho phép với mỗi x chỉ với một y duy nhất tương ứng với x. Tuy nhiên trong lý thuyết hàm, đặc thù là lý thuyết xác suất, hàm còn với thể bao hàm những hàm đa trị, trong đó một trị giá x với thể tương ứng với một số trị giá của y.

Bài này chỉ viết về những ánh xạ ( hàm ) đơn trị .

Những thuật ngữ

Trong những sách giáo khoa toán ở trung học hạ tầng và trung học phổ thông thường khái niệm:

Ánh xạ f từ một tập hợp X vào một tập hợp Y (ký hiệu

$f:X\; to\; Y$

) là một quy tắc cho mỗi phần tử x

$in$

X tương ứng với một phần tử xác định y

$in$

Y, phần tử y được gọi là ảnh của phần tử x, ký hiệu

$y=f(x)$

.

tức thị

$forall\; x\; in\; X,\; exists\; y\; in\; Y,\; y=\; f(x)$

Tập X được gọi là tập nguồn, tập Y được gọi là tập đích.

Với mỗi

$y\; in\; Y$

, tập con của X gồm những phần tử, với ảnh qua ánh xạ f bằng y, được gọi là tạo ảnh của phần tử y qua f, ký hiệu là

$f^\{-1\}(y)$

$f^\{-1\}(y)=\; f(x)=y$

Với mỗi tập con

$A\; subset\; X$

, tập con của Y gồm những phần tử là ảnh của

$x\; in\; A$

qua ánh xạ f được gọi là ảnh của tập A ký hiệu là f(A)

$f(A)=\; x\; in\; A$

Với mỗi tập con

$B\; subset\; Y$

, tập con của X gồm những phần tử x với ảnh

$f(x)\; in\; B$

được gọi là tạo ảnh của tập B ký hiệu là

$f^\{-1\}(B)$

$f^\{-1\}(B)\; =\; f(x)in\; B$

Một khái niệm khác, tiêu dùng trong lý thuyết tập hợp, sau lúc khái niệm khái niệm quan hệ, người ta khái niệm:

Một ánh xạ

$mathcal\; F$

từ tập X vào tập Y là một quan hệ

$mathcal\; F$

từ X vào Y thoả mãn điều kiện: mọi phần tử

$x\; in\; X$

đều với quan hệ

$mathcal\; F$

với một và chỉ một phần tử

$y\; in\; Y$

.

Viết dưới dạng mệnh đề, ánh xạ

$mathcal\; F$

, ký hiệu

$mathcal\; F$

.

Vài đặc thù cơ bản

• Ảnh của một tập hợp rỗng là một tập hợp rỗng

$A=empty\; ,\; Leftrightarrow\; f(A)=\; empty$

• Ảnh của tập hợp con là tập hợp con của ảnh

$A\; subset\; B$ $Rightarrow\; f(A)\; subset\; f(B)$

• Ảnh của phần giao nằm trong giao của phần ảnh

$f(A\; cap\; B)\; subset\; f(A)\; cap\; f(B)$

• Ảnh của phần hợp là hợp của những phần ảnh

$f(A\; cup\; B)=f(A)cup\; f(B)$

Toàn ánh, đơn ánh và tuy nhiên ánh

phải

• Toàn ánh là ánh xạ từ X vào Y trong đó ảnh của X là toàn bộ tập hợp Y. Lúc đó người ta cũng gọi f là ánh xạ từ X lên Y

$f(X)=Y$

hay

$forall\; yin\; Y,\; exists\; x\; in\; X:\; f(x)\; =\; y$

• Đơn ánh là ánh xạ lúc những phần tử khác nhau của X cho những ảnh khác nhau trong Y.Đơn ánh còn được gọi là ánh xạ 1-1 vì tính chất này.

$forall\; x\_1,x\_2\; in\; X:\; x\_1ne\; x\_2\; Rightarrow\; f(x\_1)ne\; f(x\_2)$

hay

$forall\; x\_1,x\_2\; in\; X:\; f(x\_1)\; =\; f(x\_2)\; Rightarrow\; x\_1\; =x\_2$

• Song ánh là ánh xạ vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh. Song ánh vừa là ánh xạ 1-1 và vừa là ánh xạ “onto” (từ X lên Y).

Một số ánh xạ đặc thù quan yếu

• Ánh xạ ko đổi (ánh xạ hằng): là ánh xạ từ X vào Y sao cho mọi phần tử x
  $in$

  X đều cho ảnh tại một phần tử duy nhất

  $y\_0$ $in$

  Y.

• Ánh xạ đồng nhất: là ánh xạ từ X vào chính X sao cho với mọi phần tử x trong X, ta với f(x)=x.
• Ánh xạ nhúng: là ánh xạ f từ tập con
  $X\; subset\; Y$

  vào Y cho f(x)= x với mọi

  $x\; in\; X$

  . Lúc đó ta ký hiệu f: X

  $hookrightarrow$

  Y. Một quan niệm khác về ánh xạ nhúng là: nếu

  $f:\; X\; to\; Y$

  là đơn ánh, lúc xem f chỉ là ánh xạ từ X vào tập con

  $f(X)\; subset\; Y$

  , f sẽ là song ánh. Lúc đó ta với tương ứng 1-1 giữa X với f(X) nên với thể thay thế những phần tử của tập con

  $f(X)\; subset\; Y$

  bằng những phần tử của tập X. Việc này được gọi là nhúng X vào Y bằng đơn ánh f.123

Ánh xạ tích và ánh xạ ngược

Cho hai ánh xạ

$f:\; X\; to\; Y$

và

$g:\; Y\; to\; Z$

. Tích của hai ánh xạ f, g, ký hiệu là

$gcirc\; f$

là ánh xạ từ X vào Z, xác định bởi đẳng thức:

$(gcirc\; f)(x)=g\; (f(x))$

• Một số tính chất của ánh xạ tích

Nếu

$(gcirc\; f)$

là đơn ánh thì f là đơn ánh.

Nếu

$(gcirc\; f)$

là toàn ánh thì g là toàn ánh.

Nếu

$(gcirc\; f)$

là song ánh thì f và g đều là song ánh.

• Ánh xạ ngược (Inverse map)

Cho ánh xạ

$f:X\; to\; Y$

, nếu với ánh xạ

$g:\; Y\; to\; X$

sao cho

$forall\; x\; in\; X:\; (gcirc\; f)(x)\; =x$

$forall\; y\; in\; Y:\; (fcirc\; g)(y)\; =y$

thì g được gọi là ánh xạ ngược, hay nghịch đảo của f, ký hiệu là

$f^\{-1\}$

.

Ánh xạ f với ánh xạ ngược lúc và chỉ lúc f là song ánh.

Những khái niệm ánh xạ khác ( dịch từ tiếng Anh )

Xem thêm

Liên kết

Template : Toán học

Tham khảo

Thể loại : Hàm số và ánh xạ

Source:
Category: